전달 함수의 정의와 성질

 

전달 함수의 정의와 성질

전달 함수의 정의

전달 함수는 제어 시스템에서 입력과 출력 사이의 관계를 나타내는 중요한 수학적 도구입니다. 선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant, LTI 시스템)의 전달 함수 G(s)는 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 Y(s)는 출력의 라플라스 변환, X(s)는 입력의 라플라스 변환을 의미합니다. 이 비율은 시스템이 어떤 입력에 대해 어떤 출력을 생성하는지 나타내며, 시스템의 특성을 분석하는 데 유용합니다.

 

전달 함수의 성질

전달 함수는 여러 가지 중요한 성질을 가지고 있습니다. 아래는 그 주요 성질들입니다.

 

1. 선형성 (Linearity): 시스템이 선형이면, 전달 함수는 시스템의 선형 조합에 대해 선형성을 유지합니다. 즉, 입력의 선형 조합에 대한 출력은 개별 입력에 대한 출력의 선형 조합과 같습니다.
2. 시간 불변성 (Time Invariance): 시스템이 시불변이면, 전달 함수는 시간에 따라 변하지 않습니다. 동일한 입력에 대해 항상 동일한 출력을 생성합니다.
3. 초기 조건 무시 (Initial Conditions Neglect): 전달 함수는 시스템의 초기 조건을 고려하지 않습니다. 이는 주로 시스템이 안정 상태에 도달한 후의 응답을 분석할 때 유용합니다.
4. 입출력 관계: 전달 함수는 시스템의 입출력 관계를 주파수 영역에서 표현합니다. 이는 시간 영역에서의 미분 방정식을 주파수 영역으로 변환하여 해결하는 데 유용합니다.
5. 단위 계단 입력 응답: 단위 계단 함수 입력 u(t)에 대한 시스템의 출력은 전달 함수를 1/s로 곱한 후 역 라플라스 변환하여 구할 수 있습니다.
6. 극점과 영점 (Poles and Zeros): 전달 함수는 극점과 영점을 통해 시스템의 동적 특성을 설명합니다.
   • 극점 (Poles): 전달 함수의 분모를 0으로 만드는 값으로, 시스템의 자연 응답을 결정합니다.
   • 영점 (Zeros): 전달 함수의 분자를 0으로 만드는 값으로, 특정 주파수에서 입력이 출력에 영향을 미치지 않게 합니다.
7. 안정성 (Stability): 시스템의 안정성은 전달 함수의 극점 위치에 따라 결정됩니다. 모든 극점이 좌반평면에 있을 때 시스템은 안정합니다.
8. 주파수 응답 (Frequency Response): 전달 함수는 시스템의 주파수 응답을 분석하는 데 사용됩니다. s=jω로 대체하여 전달 함수를 구하면, 주파수에 따른 시스템의 응답을 얻을 수 있습니다.